Aristote a notamment inventé le syllogisme et préconisé l'utilisation de variables permettant la substitution d'une expression ou d'une proposition concrète dans un schéma formel abstrait, par exemple, «A est prédiqué de B», dans lequel A et B jouent le rôle de variables. Le prédicat, pour Aristote, est ce que l'on affirme d'un sujet ou ce qui lui est attribué dans une proposition (ainsi dans la proposition «les politiciens sont des démagogues», «démagogues» est un prédicat).

La logique stoïcienne, représentée par Chrysippe (281-205 av. J.-C.), admettait cinq indémontrables, ce qu'on pourrait appeler des axiomes. Ce sont des schémas d'inférences valides (c'est-à-dire dont la valeur vient de ce qu'une assertion découle d'une précédente totalement et uniquement à travers le système de règles posé). Par exemple, si A implique B et qu'on a A, alors on peut conclure B.

À l'époque classique, la logique est supplantée par la dialectique et par la recherche d'une méthode. Dans le Discours de la méthode
, Descartes propose comme première règle de ne reconnaître comme vrai que ce qui se présente si clairement et si distinctement à l'esprit qu'on ne puisse le mettre en doute. Ce sont des évidences garanties par l'intuition de l'esprit dirigé par la raison plus que par la déduction. Avec Arnauld et Nicole, auteurs de la Logique ou l'Art de penser (1662), la logique dite de Port-Royal analyse les quatre opérations principales de l'esprit: la formation des concepts, le jugement, le raisonnement, la validité des syllogismes. Elle ajoute à une intégration de la pensée de Bacon et de Descartes au système aristotélicien une réflexion sur le langage, théorisée dans la Grammaire générale et raisonnée (1660) d'Arnauld et Lancelot.

Mais c'est avec Leibniz que la logique moderne commence véritablement. Le philosophe allemand voulait fonder un langage artificiel universel basé sur un alphabet de la pensée qui représenterait les choses de manière logique et qui permettrait de raisonner avec la rigueur du calcul (De arte combinatoria, 1666). Ce langage universel devait être à l'image de l'algèbre, constitué de symboles et d'opérations pour manipuler ces symboles.

Avec George Boole, auteur de l'Analyse mathématique de la logique (1847) et des Recherches sur les lois de la pensée (1854), l'analyse de la logique s'appuie sur l'analogie entre les opérations logiques (et, ou, non) et mathématiques (intersection, union, complément). Se développe ainsi la logique mathématique suivie de la logique moderne proprement dite avec Gottlob Frege, qui développa la première formalisation complète du calcul propositionnel.

Outre la logique mathématique, qui devait trouver un essor particulier avec Bertrand Russell, une autre forme de logique est la logique formelle, qui étudie la validité des arguments et les conditions sous lesquelles une conclusion peut être inférée de manière valide à partir de prémisses.

Les logiques modales ajoutent aux opérateurs classiques des opérateurs modaux de nécessité (‹) et de possibilité (›) qui portent sur les formules et propositions: ‹p se lit «il est nécessaire que p»; ›p se lit «il est possible que p». On peut les définir l'un par l'autre: ‹p = Ï›Ïp, «il n'est pas possible qu'une proposition nécessaire soit fausse», et ›p = Ï‹Ïp, «une proposition possible n'est pas nécessairement fausse».

La logique intuitionniste est une des logiques de rechange de la logique classique. Elle a la même syntaxe, mais les connecteurs ne sont pas interdéfinissables. En effet, l'interprétation de la négation et celle de l'implication sont différentes. Dans la logique classique, la loi du tiers exclu et celle de la double négation sont valides. Il n'en est plus de même dans l'intuitionnisme. En effet, selon la philosophie intuitionniste, on ne peut admettre p ‰Ïp que dans le cas fini, celui où il est possible de vérifier effectivement et de construire p ou Ïp. Dans le cas infini, cette vérification n'est pas possible. D'autre part, classiquement, la double négation est équivalente à l'affirmation, ÏÏp = p. Du point de vue intuitionniste, la négation de Ïp n'est pas équivalente à p.

Parmi d'autres logiques non classiques, les logiques multivalentes ajoutent plusieurs valeurs de vérité à côté du vrai et du faux. Les logiques relevantes rejettent l'interprétation classique du connecteur d'implication. Comme le montre sa table de vérité, celui-ci est paradoxal: l'implication matérielle permet de déduire n'importe quelle conclusion d'une prémisse fausse. En imposant une relation de signification entre l'antécédent et le conséquent, l'implication relevante évite les paradoxes.

Un autre type d'erreur, quand il ne s'agit pas d'un argument non sequitur (dans lequel il n'y a pas de rapport entre les prémisses et la conclusion), consiste à tirer une conclusion non pertinente par rapport aux prémisses, par exemple quand la conclusion change l'objet dont il est question dans les prémisses de l'argument. Différentes formes d'arguments illustrent ce type d'erreur: l'argument ad hominem, dans lequel la prémisse s'attaque à la personne qui soutient une thèse plutôt que de montrer que celle-ci est fausse; l'argument ad populum, qui s'appuie sur les comportements populaires plutôt que sur une argumentation logique; l'argument ad misericordiam, auquel a recours par exemple un avocat quand, dans l'impossibilité de prouver l'innocence de son client, il tente de le rendre sympathique; l'argument ad verecundiam, qui tente de faire accepter la conclusion sur la base de l'autorité de certaines personnes; l'argument ad ignorantiam, qui soutient que les choses sont telles puisqu'on n'a pas prouvé le contraire; finalement, l'argument ad baculum, qui repose sur la possibilité de recourir à la force pour imposer une conclusion.

D'autres types d'erreurs sont constitués par la pétition de principe, qui présuppose la conclusion à démontrer dans les prémisses; le cercle vicieux, dans lequel l'argument part d'une prémisse pour y revenir sans avoir rien prouvé; l'erreur qui consiste à prendre une suite temporelle pour une suite causale; la reductio ad absurdum, selon laquelle les prémisses qui permettent de déduire une conclusion fausse doivent être fausses.

La logique épistémique concerne la croyance et la connaissance, c'est-à-dire les relations entre un sujet x et l'ensemble de ses croyances Bx: par exemple, p Õ Bx s'interprète par «x croit que p». Parmi les axiomes de cette logique, on retiendra certaines conditions de consistance: «si x croit que p alors x ne croit pas que non-p» et d'inférence: «si x croit que p, et si q est une conséquence logique de p, alors x croit que q». En ce qui concerne la connaissance, on considère la relation entre un sujet x et l'ensemble de ses connaissances, et on étudie la relation p Õ Kx, «x sait que p».

Les développements de l'intelligence artificielle ont permis de développer ces logiques, d'en inventer d'autres et de revitaliser des systèmes moins connus.

Enfin, les logiques floues, fondées sur une théorie des ensembles flous, permettent de traiter logiquement le raisonnement et la connaissance approximative. Ces logiques s'occupent des prédicats vagues, qui donnent aux propositions des degrés variés de vérité, plutôt que des propositions à contenu imprécis soumises à des prédicats clairs et précis.