Opérateur de Laplace–Beltrami discret sur les surfaces digitales

Abstract

La question centrale de cette thèse est le développement d’un opérateur Laplace-Beltrami discret sur des surfaces numériques. Ces surfaces proviennent de la théorie de la géométrie discrète, c’est-à-dire de la géométrie qui se concentre sur des sous-ensembles d’entiers relatifs. Nous nous situons ici dans un cadre théorique où les surfaces digitales sont le résultat d’un processus d’approximation, ou de discrétisation, d’une surface lisse sous-jacente. Cette méthode permet à la fois de prouver des théorèmes de convergence de quantités discrètes vers des quantités continues, mais aussi, par des analyses numériques, de confirmer expérimentalement ces résultats. Pour la discrétisation de l’opérateur, nous rencontrons deux problèmes : d’une part, notre surface n’est qu’une approximation de la surface continue sous-jacente, et d’autre part, l’estimation triviale des grandeurs géométriques sur la surface numérique ne nous donne généralement pas une bonne estimation de cette grandeur. Nous avons déjà des réponses au deuxième problème : ces dernières années, de nombreux articles se sont concentrés sur le développement de méthodes d’approximation de certaines grandeurs géométriques sur des surfaces digitales (comme les normales ou la courbure), méthodes que nous allons décrire dans cette thèse. Ces nouvelles techniques d’approximation nous permettent d’injecter des informations de mesure dans les éléments de notre surface. Nous utilisons donc l’estimation des normales pour répondre au premier problème, ce qui nous permet en fait d’approximer avec précision le plan tangent en un point de la surface et, par une méthode d’intégration, de surmonter les problèmes topologiques liés à la surface discrète. Nous présentons un résultat théorique de convergence du nouvel opérateur discrétisé, puis nous illustrons ses propriétés par une analyse numérique. Nous effectuons une comparaison détaillée du nouvel opérateur avec ceux de la littérature adaptée sur les surfaces digitales, ce qui permet, au moins pour la convergence, de montrer que seul notre opérateur possède cette propriété. Nous illustrons également l’opérateur via certaines de ces applications telles que sa décomposition spectrale ou le flux de courbure moyenne.